設定→支払いと配送先→お支払い用カードにクレジットカードを登録してもエラーが出て登録できない

前のカードでの支払いでエラーになってるのでは？

有効期限はiPhoneの設定＞Apple ID＞支払いと配送先のカードの登録のところで有効期限を更新できます。半角数字で入力しないとエラーになります。最後にカードのセキュリティコードを入力します。そこで、Appleがカード会社へ参照してOKなら有効期限は更新されます。ここでもエラーになるようなら、有効期限更新前のカードの支払いでエラーになってることが想定されます。その時は直接Appleに問い合わせてください。

新しくカードを登録しようとしているからでは？

既存のカードの更新でできるはずです。

有効期限を更新する場合は、カードを再登録するのではなくて、有効期限のみ更新します。

有効期限のみの変更でも、セキュリティコードの入力は必要なはずだし、請求先情報（住所と氏名）をきちんと入力した方がいいが。

別の端末でアカウント管理画面に入り、支払い方法を更新してみるとか。

どんなエラーが出たのですか。