iCloud にあるバックアップデータを新しいiPhone に移行したい

iPhone、iPad、iPod touch をバックアップから復元する - Apple サポート (日本)

こちらを参照してください。

新iphoneをアクティベーションして言語とWiFiを設定、バックアップを戻すかどうか聞いてきます。その時にiCloudから戻すとして、Apple IDなど必要な情報を入力して旧iPhoneのバックアップを指定すれば良いです。

注意すべきは、新iPhoneのiOSバージョンが旧iPhoneのiOSバージョンより新しいものにしておくことです。購入直後のiPhoneのiOSバージョンは、ほとんどの場合最新iOSバージョンではありません。旧iPhoneのiOSバージョンが最新でバックアップをとっていると、そのバックアップが候補に出てきません。

このため、最初は新iPhoneは最低限の設定（言語とWiFiの設定だけでOK）でアクティベーションして設定＞一般＞ソフトウェアアップデートでiOSバージョンを確認し、最新でなければ最新にしておく方が良いです。最新になったら、設定＞一般＞転送あるいはiPhoneをリセット＞すべてのコンテンツと設定を消去にして初期化すれば、また最初からやり直しできます（この時iOSバージョンは最新のままです）。