「メール」で未読メールの件数が表示されない。

失礼致します。

hinasssan さんの質問投稿の下側に、お使いの環境が「MacBook Air 13″, macOS 12.5」と表示されていますが、間違い有りませんでしょうか？

その場合、hinasssan さんがお使いの MacBook Air のモデル は何でしょうか？

Mac のモデルとシリアル番号を調べる - Apple サポート (日本)

hinasssan さんがお使いの MacBook Air が Intel プロセッサ搭載モデルの場合は、「セーフモード」で起動、及び「NVRAM リセット」 を行なって見て下さい。

• Mac でセーフモードを使う方法 - Apple サポート (日本)
• Mac で NVRAM をリセットする - Apple サポート (日本)

hinasssan さんがお使いの MacBook Air が Apple シリコン（M1, M2）搭載モデルの場合は、「セーフモード」で起動した状態でログインし、不具合が改善されるか確認 して見て下さい。

（「セーフモード」で起動すると、表示や動作が極めて緩慢になりますが、不具合ではありません。 確認後、MacBook Air を再起動させて下さい）

pop/imapの別も意識した方が良さそうだけど、

まだまだ不安定な印象なので、あまり気にしない方がいいかも。

ちなみに、未読件数のクリアに時間がかかる（感覚的には復活する）のは、数年前からだし、iOS16でも治ってないようだ。

ここからの通知メール（自前メールサーバの専用メールアドレス）は、しばしば、バッジに出ないので、受信メールボックスを直接、確認している。