iOS 13 からiOS 16 のアップデートはパソコンがないとできませんか

お手元にあるのならやってみればわかると思いますが、パソコンが必要です。

パソコンを購入する予定がないのなら（本当はパソコンがある方が何かと都合がよいのですが…）、今回はご家族かお友達のパソコンを使わせてもらうか（ゲストでよいのでユーザーアカウントを別に作ってもらい、用が済んだらすぐ削除してもらう）、Apple Storeに持ち込んでください（やってもらえるという話です）。

今後は「設定＞一般＞ソフトウェアアップデート」の「自動アップデート」で少なくとも「ダウンロード」をオンにして（私は知らないうちにアップデートされるのはいやなので「インストール」の方はオフにしています）、こまめにアップデートしてください。

「ダウンロード」をオンにすると、準備ができたときに「設定」アプリにバッジがつくので、都合の良いタイミングでインストールすればいいです。

ほぼデフォルト状態のiPhoneを iOS12からiOS15ぐらいに単体で(PCを使わずに)アップデートしたことがあります。なので、必ずPCが必要というわけではないのですが、色々データが入っている状態ではデータの保全のためにもPCがあった方がいいです。

データがなくなってもいい場合は 初期化すればiOSは最新になります。なので理論上はiCloudにバックアップ、初期化バックアップ復元も可能かと思いますが、試したことはないので保証はできませんし、あまりおすすめしません。