アプリのアイコンをタップしたらホーム画面に戻ったり、画面が黒くなってしまう

「あるアプリ」とは特定のアプリなんでしょうか。「ホーム画面に戻ったり画面が黒くなったり」するのは起動に失敗しているということですよね。特定のアプリの問題なら、そのアプリを削除して再インストールしてみるとか。

iPadに問題があるかをチェックするには、工場出荷状態に戻してサードパーティ製のアプリを入れずに（とりあえずバックアップから復元せずに）動作確認してみることでしょうか。たぶんこのときにOSも最新になると思うので、まだiPadOS 16にしたくないということなら止めた方がいいかも。iPadOS 15の最終バージョンまで上げていないのでしたら、アップデートした方がよいと思いますが。

iPadProのモデルは何でしょう？

最新のiPadOSは16.3なので、最新にアップデートされていないと App自体のアップデートもできず、挙動に問題が出てくるかと思います。