古いApple ID のパスワードを求められます

ダウンロードって、購入済みのアプリのアップデートをダウンロードですか？

もしそうなら、そのアプリは古いApple IDで購入したものですから、アップデートでは古いApple IDのパスワードが必要です。アプリを購入した場合、購入した時のApple IDと紐付けられており、それを変更することはできません。

古いApple IDで購入したものは削除して、新しいApple IDで再購入する必要があります。

もし、新規アプリをダウンロードする際に古いApple IDのパスワードを聞かれるなら、

設定＞Apple ID>メディアと購入を開け、アカウントの表示をチェックしてみてください。そこに古いApple IDが登録されてませんか？

その場合なら、サインアウトして、新しいApple IDでサインインしてください。これで、App Storeから購入するときのApple IDも新しいApple IDになります。