削除されたAppleIDが表示され、何度もPWを聞いて来ます。サインアウトもできません。

サインアウトできないとのことですが、サインインしたままAppleIDを削除（抹消）してしまったのでは？

その場合、古いIDでアクティベーションロックがかかると思います。その場合、購入証明を添えて解除申請が必要になります。

他の可能性も考えられるので、Appleに連絡して状況をよく確認してもらった上で対処してください。

お問い合わせ - Apple サポート (公式)

デバイスは何ですか？

使用機器のところはmacbook pro 15" 10.15と書かれてますが、これのことなら、インテルmacで、それほど新しいmacじゃないですよね？

それだと、アクティベーションロックがかかることもありませんけど。

以前購入したアプリの関係で古いApple IDのパスワードを要求してくるのでは？

購入したアプリは、購入時のApple IDと紐付けられており、後から変更はできませんのでそうなります。嫌なら削除して、新しいApple IDで再購入するしかないのですが。