MacBookのパスワードを忘れ、リセットしようにもApple IDサーバ接続時にエラーが起きましたと表示される。

wifiルータはあなたが管理してるんじゃないのですか？

管理してるなら、直接wifiルータにサインインすればパスワード確認できませんか？

iphoneの探すから、問題のmacbookを削除してもいいですけど、いずれにしろ、macのインターネット接続は必要ですよ。初期化する際には、Appleのサイトにアクティベーションロックの状態を確認に行きますので。それがOKにならない限り、どうにもなりません。

iphoneがあるなら、iphoneのテザリングでmacをインターネットに接続しても良いですが。

あるいは、もし、ethernetポート付きのusbハブでもお持ちなら、それを繋いで、有線（ethernetケーブル）でwifiルータに繋いでも良いです。こうすれば、wifiパスワードは不要です。

wifiにしっかり繋がってるなら、例えwifiが変わろうが、「Apple IDサーバ接続時にエラーが起きました」とはなりませんけど。

しっかりインターネットにつながる環境でリセットを進めるしかないです。

もし、他のデバイスがあるなら、そちらの（同じApple IDで）サインインした探すから問題のMacBookを削除して進めるとか。

Apple製のデバイスがなくても、windowsのブラウザでiCloud.com/findにアクセスして（パスワードだけでサインインできます）問題のMacBookを削除しても良いです。