リーディングリストが保存出来ない

設定＞自分の名前＞iCloud＞Safari＞オン

にしているときに、なんらかの原因で AppleIDのサインイン状態がきちんとできていない時に、ブックマークが保存されないことがあるかと思います。

PCや他のiPhoneなど、デバイス間でブックマークを共有していない場合は、上記設定をオフにしてみてください。ブックマークの保存先がiCloudではなく 本体だけになりますので、保存できないエラー原因を減らすことができます。

上記設定をオフにしても改善できない場合は、iPhoneの強制再起動や、もう少しややこしい操作が必要になるかもしれません。