下取りに必要な本人確認書類

親のものでOKです。

新規購入に合わせての下取りなら、新機種の配送先を下取りの本人確認書類の住所とピッタリ合わせておくと良いです。一字でも違うと本人確認できなくなったりしますので注意してください。

キャリア契約は全く関係ありませんので気にしなくて良いです。

下取りは20歳以上が条件ですから、お子さんが20未満なら、お子さんの名前では下取りに出せません。なので、購入も、下取りも親の名前でしかできないことになります。購入は親の名前でも、使うのはお子さんでも、それは一向に構いません。