キャリアを変えてもApplemusicやゲームが出来るか？

Apple Musicもゲームも、キャリアではなくApple IDに紐付いているものですから、Apple IDを変えなければ、キャリアが変わっても使いつづけられます。

現在のApple IDがキャリア（au）のアドレスで、キャリアの変更に伴って使えなくなる場合は、以下の方法でApple IDのメールアドレスを変更します。そのメールアドレスが引き続き使える場合は、変更する必要はありません。

Apple ID を変更する - Apple サポート (日本)

@icloud.com のアドレスをお持ちなら、それをApple IDに設定して、Appleからのお知らせや領収書メールを受けとるためだけに使う（他人に教えない）のが、セキュリティーの面からもおすすめです。現在お持ちでなければ新しく作ることができますが、その場合は一定期間経過しなければApple IDとして使えないということです。

auかんたん支払いはauのサービスですから、解約と同時に使えなくなるはずなので、解約の前にクレジットカードを登録しておくか、つなぎとしてApple IDにチャージしておくかなのでは？

auかんたん支払いってauとの契約があって成立するものでは、それでもApple IDがauのキャリアメールアドレスになっていなければ支払い方法の変更で済みます。