iPhone - 電源は切れている状態で「探す」をしても検出できません

探すの地図に表示されてなくても、息子さんのiPhoneは表示されますか？

表示されてるなら、まず、紛失モードにすべきです。紛失モードにしてれば、画面に指定した連絡先が表示されますし、最低限のものしか動作しないようになりますので、バッテリーも長持ちします。Apple Payのカードなども使えなくなりますし、通話やモバイル通信を勝手に他人に利用されることもありません。エクスプレスカードに指定した交通系ICカードのみはそのまま使えてしまうので、使えないようにしておくべきです。

紛失したということで、キャリヤーとの契約を解除したり、手元のスマホのためにsimカードを再発行してもらったりする人がいますが、そんなことしたら探すで探せなくなりますので（スマホはキャリヤーの電波で位置情報を取得してる場合が非常に多い）、少なくとも当面は、キャリヤーとの契約はそのままにしておくべきです。

誰かが電源を入れれば（落とし物係に届けられれば一度は電源を入れる可能性は高い）位置は表示されるはずですし、紛失モードにすれば指定した連絡先が画面に表示れます。

その上で心当たりある場所や交番に紛失届を出して待つしかないです。