macOS 12.7.6 にアップグレードしたら、Lightroom 6 が正常終了できない

気休めみたいなものですが、以下のソフトウェア・メンテナンスをされてみては如何でしょうか？

１）電源オフの状態から電源オンで＜ shift ＞キーをセーフブート画面が表示されるまで押し続ける。ログイン後、デスクトップが表示されたらシャットダウンする。

２）電源オフの状態から電源オンで＜ command ＞キー＋＜ R ＞キーを macOS ユーティリテ画面（ Recovery HD からの起動）が表示されるまで押し続ける。macOS ユーティリティ画面が表示されたら、ディスクユーティリティを起動し、サイドバーの＜ Macintosh HD ＞を選択し、First Aid を実行する。First Aid が完了したらシャットダウンする。

これとか

Parallelsに古いmacOSをインストールする

他にも、Parallels Mac 旧OS あたりで検索すれば解説情報がいろいろヒットします。

アップデートとは違い、旧OSのインストーラがDLされるだけで、いきなりインストールが始まったりはしません。

解決策ではありませんがLightroom6はCatalinaでも正しく終了しないことがあります。

随分前にサポートは打ち切られているので諦めてください。

古いアプリを使う必要があるなら、Mojaveを維持しておくのが良いと思いますよ。

私も、Appleに写真編集アプリのApertureが使える様に、MBP2016をMojaveのまま維持しています。

Mojaveに戻すにはMojave時代のバックアップがないと大変ですけど、その辺は大丈夫ですか？

Parallels Desktopとかで、仮想環境走らせるのも手かもです。