iPadで、アプリのダウンロードができない

最新のOSにアップデートしないとiCloudも使えないので、 まずはOSのアップデートを行う必要がありますね。

パソコンの機種、OSのバージョンは？

Catalina以降なら、Macに繋いで、FinderにiPadAirは認識されますか？

iPad Air第2世代でiOS 11となると、ダウンロードできるアプリは制限されるのでは…?

該当機種ならiPadOS 15.8.3迄は上げられるのでダウンロード可能なアプリは増えると思います。

iOS 11から15.8.3だとパソコンが必要になると思いますが、所有していますか。

MacのFindeのウインドウ左側のリストにiPadAirが表示されませんか？

これはiPhoneの初期化の画像ですが、同様のレイアウトになるので、虫眼鏡で拡大されてる部分の左側にあるアップデートを確認（かな？）からアップデートできるはずです。