アクティベーションロックを解除するには？

おっしゃるのはアクティベーションロックじゃないですね。

アクティベーションロックなら、Apple Accountとそのパスワードを入力すれば解除できます。そういう画面が出てこないなら、Apple Accountが無効になったとか、iPhoneの故障の可能性が高いです。

パソコンのブラウザでApple Accountの管理サイトにはサインインできますか？

サインインできるなら、Apple Accountが（何らかの理由で）削除されたとか無効になったわけじゃないということですので、問題のiPhoneの故障の可能性が高くなります。

もしそうなら、Appleに修理に出すしかないのでは？

ひょっとしたらリカバリーモードで回復できるかもという望みで試してみる価値はあるかも。

iPhone や iPod touch をアップデートまたは復元できない場合 - Apple サポート (日本)

でも、このサポート記事にあるリカバリーモードを使うべき事象ではないように見えますので、ダメかもしれません。