iPhone 16のミラーリングが認識しません

それはコントロールセンターのミラーリングは無関係です。正しく接続すればディスプレイの画面にiPhoneの画面が出るはずです。

まず、最初の書き込みで、「純正のケーブルを使ってます」と書かれてますが、純正のケーブルというのはiPhoneに付属してたケーブルのことですか？それとも別のものを調達されたのでしょうか？

以下のようなサポート記事が出てます。

iPhoneのUSB-Cコネクタで充電および接続する - Apple サポート (日本)

この中に外付けディスプレイに接続する場合のことも書いてます。使うケーブルについて、「ディスプレイに付属のケーブルや別売りのThunderbolt 4（USB‑C）Proケーブル（1m）など、USB 3.1以上に対応したUSB-Cケーブルを使用」と書いてます。例えば、iPhoneに付属してるケーブルはUSB2.0にしか対応してないので、ディスプレイ接続の際には使えないです。なので、hdmiに変換するアダプタ（？）とUSB3.1以上に対応したケーブルが必要です。

ミラーリングはAirPlayです。WiFiで繋がるので、ケーブルはいらないのですが。

AirPlayを受信できるもの（例えば、Monterey以上が稼働するMac）があれば、そのデバイスが表示されるので、それをタップすれば、そのデバイスにiPhoneの画面が出るのですが。

AirPlayを使ってiPhoneやiPadからビデオをストリーミングする／画面をミラーリングする - Apple サポート (日本)

>変換はアップル以外で購入しましたが、純正？でないとダメなのか、と思いアップルで購入

なんか日本語がよく分からないです。

で、ケーブルも、変換アダプタも、実際に購入したもののメーカや型番などを書いてもらい（あるいは、インターネットサイトの広告を引用でもいいです）、それらをどのように接続してるか具体的に書いてもらえる方がはっきりするのですが。