macOSの再インストールができません

command + Rで復旧ユーティリティに入って、まずディスクユーティリティで内蔵ディスクを消去（初期化）する必要があります。初期化して、Macintosh HDのボリュームを作っておけば、それがインストール先に出てくるはずです。

ところで、macの年式を含むモデル名、macOSバージョンは何ですか？

年式やmacOSバージョンによっては、単純にディスクユーティリティで初期化してもうまくインストールできないかも。

macOSの再インストールでインストール先のMacintosh HDが出てこないようなら、ディスク内のデータを残したままインストール（上書き再インストール）は無理です。

どうしてもやりたいなら、外付けSSD（USB3.1 gen2 以上の速いもの）を用意してそちらにmacOSをインストールして内蔵ディスク内のデータを救出するしかないです。macOS 12だと、USB3.1 gen2以上、できればthunderbolt3、4接続のSSDが望ましいです。USB3.0接続のSSDとかだと、インストールできても起動しなかったり、起動しても非常に不安定だったりします。今だと、high speed 規格のSSD（USB3.1 gen2と謳ってる）とかもあるみたいですが、遅いので、避ける方が良いです。