iPhone 3GS - Macと接続したが、画面は暗いまま

斜め上のリプライとしては、長い時間、使っていないとバッテリーが抜け切って充電可能になるまで時間がかかる事が有ります。

一時間、放置で様子見しても変わりませんか…。

なんと、そうなんだったんですね。

そうすると、バッテリーが劣化してPCにデータを送るだけの電圧が保てない状態になっているのでは、と思います。十分充電させてから しばらく使ってみる、を繰り返してから 再度試してみるのはどうでしょう。

それでNG＆諸々設定がなくなっても構わない（データは消えません)という場合は、すべての設定のリセットをおすすめします。

写真や連絡先など、アプリ以外のデータ抽出なら、iCloud経由で保存してもいいと思いますけどね。アプリに依存しているデータは、近いモデルでない限り移行は難しいと思います。

macのmacOSバージョンは何ですか？

iTunesというと、Mojave以前でしか使えませんが。

3GSは2010ぐらいのモデルですから、Mojaveなら正常に認識しても良さそうですけど。

もっと新しいモデルでファインダーでだと、Catalina（2019リリース）以後になり、32bitアプリが使えなくなったタイミングでバッサリ切られて認識すらしないかも。

可能なら、el capitan（2015リリース）ぐらいのmacで試してみるとか。

ケーブルを挿したときに充電を開始する音がなったにも関わらず画面がつかないなら、画面の故障だと思います。それだと画面修理しない限り バックアップはできません。バックライトだけの故障なら、操作はできるんですけどね…。

アクティベーション解除用SIMを使ってもSIMカードを認識しないということでしょうか。

その辺りの知識は持ち合わせていないのですが、下のリンクの「オフラインの場合に〜」が参考にならないでしょうか。

アクティベーションロックの解除方法 - Apple サポート (日本)