アップルIDと主要メールアドレスがともにキャリアメールになっている

キャリア変更でメール受信できなくなると、すぐさま不具合が生じるわけではないですが、想定されている様な問題や不測の事態発生時の復旧、パスワード変更時の確認、Appleからの領収書メールなど届かなくなったりするので、有効なメールアドレスをキープしておかないとダメですよ。

おっしゃる様に、Gmailなど、キャリアに関係しない使い続けられるメールを主要メールアドレスにしておくと良いです。

>アップルID（アップルアカウント）と主要メールアドレスがともにキャリアメールになっている

「アップルID（アップルアカウント）の主要メールアドレスがキャリアメールになっている」なのでは？

以下の方法で変更を。

Apple Accountの主要メールアドレスを変更する - Apple サポート (日本)

xyさんの示されたリンク先に従って主要メールアドレスを変更すれば、Apple account（ID)が変更されます。

サインインする時のアカウントも変わるということです。特に追加しない限りキャリアメールアドレスとは縁が切れます。