App Storeでアプリをインストール、アップデートできない

「Apple Store」ではなく「App Store」です。

「設定＞氏名＞お支払いと配送先」の支払い方法がどうなっているか（エラーなどは出ていないか）、確認してみましたか。

適切な支払い方法が登録されていないと、そのようなアラートが出る可能性があります。

支払い方法が登録されていて、特にエラーも出ていないなら、Appleサポートにお問い合わせください。

＞また急ぎの場合、別の方法でインストール、アップデートできますでしょうか。

できないと思います。