ペアレンタルコントロール
ファミリーリンク機能を使用し、13歳未満の子供で設定したIPHONEから親の承認を許可依頼すると、新規メッセージが立ち上がり送信すると、メッセージが送信できません、MMS機能を有効にしろとなります。ただキャリアがMMS対応でないため困っています。MMS以外のリクエスト方法はないのでしょうか？
親の承認というのが何を指しているのかよく分かりませんが、こちらを確認してみてはいかがでしょうか。
Appleのセキュリティリリース - Apple サポート (日本)
「承認と購入のリクエスト」が機能しない場合 - Apple サポート (日本)
iPhoneでメッセージを設定する - Apple サポート (日本)
iPhoneでiMessageやFaceTimeをオンにできない場合やサインインできない場合 - Apple サポート (日本)