機種変後　旧iPhoneにもメールが届く

クイックスタートとか旧機種のバックアップを新機種に戻したのなら、両方とも同じ設定ですから、両方に同じメールが届くのは当たり前です。メールを現在標準のIMAP方式で受信してるなら、複数の端末で同じメールを受信できます。

当然ながら、旧機を初期化すれば旧機にはメールは届かなくなります。

同じ設定のまま、旧機の方でメール、写真、音楽などを削除すると新機の方からも消えてしまいますのでご注意ください。片方のみからデータを消したいのなら、必ず、まず、その端末でAppleアカウントからサインアウトしてからにしてください。サインアウトしてからなら、その端末でデータを消去しても、新機の方のデータが消えることはありません。

旧機の方を初期化するなら、設定＞一般＞転送またはiPhoneをリセット＞すべてのコンテンツと設定を消去で初期化してください。これで初期化すれば、最初にAppleアカウントからサインアウトしますので、新機の方のデータは影響を受けません。ただ、サイアウトする前にバックアップを取ろうとします。しかし、すでに新機に移行してるなら、旧機のバックアップは不要ですのでバックアップを取ろうとしたらすぐキャンセルにしても良いです。ある程度バックアップが進むとキャンセルできなくなります。