自己レスとなります。
結果的に現時点でサインインできたことを確認いたしました。
昨日はマシン(Mac mini M2)を再起動しても駄目で、さらに調べてみると TV にもログイン出来ていない状態でした。
ただ、 App Store は大丈夫で、iPhone の Music にも問題はありませんでした。
唯一試したこととしては Mac から Apple アカウントのパスワードを変更し、 Store や iPhone 側も新パスワードでサインインし直したりしました。しかしながら当日は問題は解決しませんでした。
一晩置いて今朝、再度 Apple Music のサインインを試したところ何ら問題なくサインイン出来ました。もちろん、パスワードは更新後のものを使っています。
TV のほうは Music にサインインできたあとに起動してみたところ、すでにサインイン済みの状態となっていました。
なんともモヤっとする感じではありますが、もし同様の問題でお悩みの方の情報となれば幸いです。
ただし、パスワードの変更はすべての Apple アカウントに紐づいたサービスに影響しますので、ご判断は慎重にされたほうがよろしいかと思います。