古いiPhoneの初期化

この方法で初期化すれば新しい端末に影響は何もありませんので安心して初期化を進めてください。

iPhone、iPad、iPod touchを初期化する（工場出荷時の設定に戻す）方法 - Apple サポート (日本)

古い方で、

設定>一般>転送またはiPhoneをリセット>すべてのコンテンツと設定を消去

とすれば、古い方のみが初期化され現在使ってるiPhone内のものが消えることはありませんあ。

古い方のiPhoneが現在お使いのAppleアカウントにサインインした状態のまま、中身を消去すると新しい方の中身も消えます。

最初にサインアウトしてから消去すれば新しい方に影響することはありません。

ただサインアウトする時に iCloudにバックアップを取ろうとします。もうすでに新しい方を何のトラブルもなく使ってるのなら、今更古い方のバックアップを取る必要はありませんし、時間と iCloudの容量が無駄に消費されるだけ（最悪、大事な現在のバックアップが壊れる可能性もあります）ですから、バックアップが始まるや否やキャンセルにします。最初のうちならキャンセル出来ますが、ある程度進むとキャンセル出来なくなりますので注意が必要です。