Apple account ログインできない

iPhoneの「設定＞氏名」で表示されるAppleアカウント（メールアドレス）は、ブラウザでサインインできたアドレスと一致していますか。

一致しているなら、アプリの新規ダウンロードはできるはずですが、ダウンロードもできませんか？

以前に別のメールアドレスでアカウントを作った記憶はありますか？

その場合は、旧アカウントで購入したアプリのアップデートがあるたびに、その旧アカウントが表示されます（旧アカウントでサインインする必要があります）。

アカウントの統合はできないので、旧アカウントで購入したアプリを削除して、現在のアカウントで再ダウンロード（有料アプリなら再購入）してください。「設定＞一般＞iPhoneストレージ」で該当するアプリを探し出して「アプリを取り除く」を選択すると、データを残したままアプリを削除できるのではないかと思うので、データを引き継ぎたい場合はこちらの方法をお試しください（ホーム画面から「削除」すると、たしか「取り除く」という選択肢は出ず、データごと削除されると思います）。

新しいアプリのダウンロードもできないのなら、それはまた別の問題の可能性があります。

App Storeを開くと表示される他のアカウントって、そのメールアドレスに心当たりはあるのですか？

一度Appleサポートに問い合わせてみては…？

Appleサポートへのお問い合わせ - Apple サポート (日本)

サポートとのやり取りで状況を詳しく説明できるので、電話がいいと思います。

ログインが必要なアプリって、具体的にどんなアプリですか。

もしかして、App Storeからアプリがダウンロード（またはアップデート）できない、という話でしょうか。

アップデートしようとするときに表示されるApple Accountが現在のアカウントと違う場合は、以前別のアカウントでダウンロードしたアプリだったりしますが、そういうことではなく…？

それとも、App Storeにログインできないということですか。

標題どおり、Apple Account でログインできないということなら、ブラウザでiCloud.comにアクセスして、現在のアカウントでサインインできるか確認してみてください。