機種変更したい電話番号ではないもので申し込みした為システムエラーが起こっている

購入申込者と実際の使用者は違っていても問題ないので、「機種変更したい電話番号ではないもので申し込みした為システムエラーが起こる」ということはないと思います。「システムエラー」と表示されるなら、それはサイト（Apple Store？）のシステムの問題で、ユーザーのミスではないと思いますが……。

購入が進まないのなら、もう一度初めからやり直すことはできませんか？

それがうまくいかないなら、Appleサポートに連絡して、現在どういう状況になっているか確認してもらう方がよいと思います。

Appleサポートへのお問い合わせ - Apple サポート (日本)

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(本名)のiPhoneと書くといいと思います。