クイックスタート画面が出てこない

古い方のiPhoneはWi-FiとBluetoothがオンになっているか

新しい方のiPhoneは「こんにちは」の画面になっているかを確認します。

どちらも問題なければ、一度両方のiPhoneの電源を切り再度電源を入れ直してクイックスタートが進むか確認します。

クイックスタートを使って新しい iPhone や iPad にデータを転送する - Apple サポート (日本)

もしそれでもクイックスタートが始まらない場合は別の方法で移行するのもひとつの方法です。

古いiPhoneで一時的に容量無制限でiCloudのフルバックアップを作成できます。

新しい iPhone や iPad の購入時に iCloud ストレージを一時利用する - Apple サポート (日本)

バックアップを作成したら新しいiPhoneでiCloudから復元を行います。

iPhone、iPad、iPod touchをバックアップから復元する - Apple サポート (日本)

iPhoneやiPadを初期設定する - Apple サポート (日本)

新しいiPhoneのiOSバージョンが古いiPhoneのバージョンより低い（古い方のOSが最新の26.6.1になっているとその可能性がある）とクイックスタートできないので、データの移行は後回しにしてとりあえずホーム画面が表示されるまで進めて、バージョンを確認してみてはいかがですか。最新でない場合は先にアップデートを済ませてから、新しいiPhoneを一度初期化し、「こんにちは」の画面からもう一度設定します。