エクスプレスサービスについてetc

正規店にてバッテリー交換を行ったところ、修理後にアイフォンの電源がすぐＯＦＦになるようになってしまいました。

(操作開始より２分程度で電源ＯＦＦ。給電中もです。ホーム画面で待機中は電源は落ちません）

店舗の方からはエクスプレスサービスにて新し本体が郵送されるとの説明を受けています。

本体到着時に故障機器を運送会社に渡さないといけないと言われていますが、故障しているためデータのバックアップがとれいていない状況です。クイックスタートでのデータ移行なども試したいため返却用キットによる返送は今回のケースでは適用されますか？

また、すぐ電源が落ちてしまうアイフォンの効果的なバックアップ方法を教えてください。