使用中に電源が落ちる

＞バックアップの間iMacが動いていてくれるか不安です。
iBookもお持ちのようですから、
iMacのHDDを取り出して外付けケースに入れ、
iBookでバックアップするというのはいかがでしょうか?

>本機のシリアル番号は、W８５１９８＊＊＊＊＊でリペアエクステンションプログラムにも該当しません。ただし、EMC NO. は、2056 　です。
いえ、EMC 2056 はうちのと同じで思いきり該当していますよ。
http://www.apple.com/jp/support/imac/powersupply/repairextension/
他の方のコメントにもありますが、HD が飛んでしまうということは修理の時でなくてもいつでも起り得るわけですから、まぁ今回はバックアップ用の HD を買いなさい、と神様が言っているのでは(笑)？
不安定なマシンでバックアップを取るのも大変そうですから、とりあえずまっさらのディスクを買ってきて装着し、それで修理に出してはどうでしょうか。戻ってきてからどちらかのディスクを外付けケースに入れればそれでＯＫです。
リペアエクステンションプログラムに該当している、していないで五万円くらいの修理費が無償になるわけですから、その分で買っても十分お釣りがくると思いますよ。

＞外付けHDの出費は痛手です。
外付けHDの費用と、データの価値とを天秤にかけて、どちらが重いかだけです。
データに、外付けHDの費用をかけるほどの価値がないと思うなら(いつ捨てても構わないなら)、バックアップは必要ないです。

>ムービーを扱うため500GBほどでシステム起動できる機種を。
えーと、ムービーを扱うワークエリアとして使うHDDと、バックアップ先とするHDDは、別のものが良いでしょう。バックアップ先をワークエリアに使い始めると、あっという間にバックアップに使わなくなってしまいます。
＞バックアップの間iMacが動いていてくれるか不安です。
悩むより行動あるのみ、です。すぐにMac取扱店に行き、HDDを購入しましょう。
500GBほどで…とのことですが、私はケースだけを買ってHDDを自分で入れる人なので、経験に基づくお勧め機種がありません。
Mac取扱店の店頭で「Macで起動ディスクにできるFireWireのHDD」といって購入すれば、何でも良いのでは。バックアップ専用であり、起動用に使わないと割り切れば、USB 2.0接続でも構いません。まあ、価格の違いは3000〜5000円程度なので、FireWireにしておくほうが間違いがありませんが。
// 野尻隆裕（Feedbackの記録「拝啓　アップル様」）//
// Intel Mac用のClassic環境を希望します(別売可)//

私もiMac G5を使っていますが、１年前に突然、電源が落ちるようになり、パワーユニットを交換したら直りました。そのときは、DIYで直しましたので、リペアエクステンションの対象ではありましたがお金を払いました。
リペアエクステンション適用する場合は、修理に出す必要があり、その条件がHDDをフォーマットするケースもあることを了解することで、当時バックアップをとっていなかったので、DIYでの修理を決断しました。
実は、また３日前から、また電源が落ちるようになり、今度はバックアップをとっていたので、修理を依頼しました。
このときの条件が、パワーユニット交換でなおる場合は、リペアエクステンションの適用、それ以外の部品が故障している場合は、いったん戻すということにしていただきました。
以前は、HDDをフォーマットすることもあると言われて躊躇したのですが、今回はそれがなく戻すということだったのでお願いしました。
以前に比べたらサービスが格段に向上していると思いました。
iMac G5はパワーユニットが弱い気がしますが、個人的にはiMac G5は気に入っています。
HDDも突然故障することもありますし、音楽はあきらめがついても、写真がなくなると悲しいので、１年前から、バックアップを定期的にとるようにしました。

>そのときは、DIYで直しましたので、リペアエクステンションの対象ではありましたがお金を払いました。 (...) 当時バックアップをとっていなかったので、DIYでの修理を決断
そういう場合は、まっさらの SATA の HDD を一つ買ってきて装着してからリペアに出すという手もありますよ。外付けケースを買っておけば本体が戻ってきても投資が無駄になりません。

なるほど。
確かに。