HD直下のライブラリーフォルダー,

> HD直下のライブラリーフォルダーが2つ存在して片方は英語です。これは正常ですか?
異常です。日本語環境なら日本語だけが正常です。英語環境なら英語です。
英語の/Library/をゴミ箱に入れて再起動してみたら消えるかも知れませんがそんな状態になったことがないので...

日本語の方がおかしいのではないかと思います。
本来は英語しかありません。日本語にしていると、これを日本語で表示しているだけ(OSX にはそういう仕組みがあります)で、本来は英語のフォルダーです。ターミナルで見るとどうなりますか。日本語だけでしか見えないフォルダーなら、ターミナルでは文字化けして見えない可能性大です（ターミナルを正しく設定してやれば日本語の表示もしますけど）。このような状態（文字化けしているか、日本語のライブラリーとしか表示しない状態）ではシステムのライブラリーフォルダーとして機能しません。
ターミナルで見ても、Library が２つあるとするとちょっと厄介です。（何か違いがあるとは思いますが）

もし、「Library」フォルダに「Preferences」フォルダしかなく、「ライブラリ」フォルダに「Internet Plug-Ins」フォルダ他たくさんのフォルダがあるのだとしたら、可能性として考えられるのが、「Library」フォルダを日本語表示に変えたくて手動でフォルダ名を「ライブラリ」に書き換えた場合です。手動で書き換えてしまうとOS側は書き換えたフォルダをLibraryとして認識しなくなり新たに「Library」フォルダを作成してしまいます。身に覚えはありませんか？

恐いことですが
すでに思い切って捨ててしまいました、
このシステムはクローンコピーソフトで
G4 Cubeからコピーしたものなので
そのソフトの欠陥だったのかなと
思っています。
純正の復元機能は
使ってみたことがありませんでした。
とりあえず起動しています。
ソフトはシンクロナイズド Pro X
とかいうソフトです。

起動しますので
解決したようです。
最初、クローン後、
ライブラリーフォルダーに
起動はするのですが
一時停止マークが付き、
アップルサポートに問い合わせながら
アクセス権を変更後
アクセス権の種類は間違ってなかった
はずですがこうゆう結果になりました。
関係あるかはわかりませんが。

本来のファイル名の表示、つまり英語の名前の表示にするには、Finderメニュー/環境設定/詳細で、「すべてのファイル拡張子を表示する」の左のチェック・ボックスにチェックを入れます。
その状態ではHD直下のフォルダ名の表示は全て英語になります。ここでもLibraryが2つ有るとすれば、不正な方を削除すれば復旧するような気がします。しかしその影響は分かりません。初期設定だけが一個だけのフォルダならば、リスクは小さいと言えます。責任は持てません。

> とりあえず起動しています。ソフトはシンクロナイズド Pro Xとかいうソフトです。
起動しているからといってそんなOSXを使っているととんでもないことになりかねません。データをbackupして新しくTigerを入れ直したほうが安全です。:-)
Sync、Virus関係のソフトはOFFにしてInstallしないといけません。

よく確認したところ、
正常なライブラリーフォルダーに
同一の.plistが確認できました。
windowserverの.plistでした。
みなさん、コメントありがとうございました。

「すべてのファイル拡張子を表示する」のチェックですが、私の場合チェックしていてもHD直下のフォルダ名が日本語のままです。
10.3.Xまではチェックすると英語表記になり、私はその状態で使っていました。
でも10.4からはチェックしても日本語のままではありませんか？
少なくとも私の所ではそうですが、、。

確かにその通りです。
当方1台のみ10.4なので、10.3のMacで確認していました。
失礼しました。