iPadの画面が勝手に動く

1.電源の入れ直し

2.全ての設定をリセット

3.バックアップからの復元

4.バックアップから戻さない復元（新しいデバイスとして設定）

これを順に試して下さい。

詳細は

トラブルシューティング for iPhone, iPod touch, iPad

こちらを参照して下さい。

4.まで試して症状が再発するのであればハードウェアの不具合を疑った方がいいと思います。

同じ症状が自分のiPadにもあります。

何度もリカバリしてますが再発します。

Appleに電話したら対応してくれると言われましたが

いざ持って行った時に症状が出なかったら

と思うと心配です。なにか手はありますか？

リカバリした後はバックアップされたデータを戻す事無く動作確認していますよね？。

何度もリカバリしてなおも症状が再現するのであれば

いざ持って行った時に症状が出なかったら

という心配をしていてもはじまらないでしょう。サポートもしくはジーニアスバーに持ち込まない事にはどうしようも有りませんよ。

症状が出ている時の動画を録っておくのもいいかも。

私のiPadは背面にストレスをかけるとすごく暴走します。例えば平らな面において使用したときや、斜めに持って普通に使うときなどです。外的要素でおかしくなるので、ハード面だと思います。アップルマーク付近を軽く押すと暴走します。修理にだしてみます。

背面を押すと暴走する症状は一時的でした。なにもしないでも急に画面が勝手に動いたりしています。
原因がとても知りたいです。

原因がとても知りたいです。

バックアップから戻さない復元を行い動作確認を。症状が改善しないのであれば本体ハードウェアの障害を疑ってサポートに連絡してくください。

バックアップから戻さない復元で症状が改善するのであれば個人環境（iOSデバイス上のデータ）に問題を抱えているのでしょう。

バックアップから戻さない復元を何度も復元を行いましたが症状は改善できませんでした。出張で大阪のアップルストアーに予約せずにいってしまい、症状を診ていただきましたらあっさり交換です！と言われました。保証期間だからでしょうか？初期不良だったのでしょうか？
しかし、とても忙しいようで、次の予約が５日後という事で、もうその場所にはいないのと、地元にアップルストアーがないので送る事にしました。
購入したショップで修理受付できるシステムになってくれるとありがたいのですがね...

購入したショップで修理受付できるシステムになってくれると

オンラインでも修理を受け付けてくれますよ。

http://www.apple.com/jp/support/serviceassistant/overview.html

保証期間だからでしょうか？初期不良だったのでしょうか？

初期不良かどうかわかりませんが、保証期間内でユーザに瑕疵のない故障であれば無料で修理でしょう。ちなみに修理と言ってもほとんどの場合本体交換になります。

オンライン修理受付、確認しました。ありがとうございます。

とても安心しました。さすが！素晴らしいサービスですね。すぐ申し込みます。

私のipadも暴走。先程アップルストアで初期不良＆無償交換となりました。係りの人は明言しなかったものの比較的良くある事のようです。ただその事象が確認出来ないといけないようで私の場合は携帯のカメラで撮ったムービーを見せ直ぐに交換となりました。最初はウィルス感染かと思い怪しいアプリケーションを削除しようか迷ったのですがこのサイトを見て初期不良と思い当たりました。このサイトはアップルのスタッフも見ているはずですが、これが初期不良＆無償交換対象であることをアナウンス、コメントしていただきたいです。勝手に画面が動き意味のわからない言葉を打ち出すのを何もできずに見ているだけの恐怖を想像して欲しいです。