充電機能はこのアクセサリではサポートされていませんと表示される

バックアップから戻さない復元と言うのを試して見ては如何でしょうか。それで改善しないならハードウェアの問題かと思います。

こんなブログがあります。

http://yozora2.blog14.fc2.com/blog-entry-373.html

これによると、ケーブル（ドック部分）が断線しかけの状態、とか。

アップル純正のケーブルを使用されていますか？あるいは他社製のものだったりしますか？

はにさんのコメントにもありますが、ケーブルが断線しかかっている場合や、USB端子側の接続不良によってもそういうメッセージが出ると思います。どなたかに同じケーブルを借りて充電できるか試してみてはいかがでしょう。充電できるならケーブルの問題でしょうし、充電できないならPC側のコネクタの接触不良も考えらるかと。

充電器では問題なく、PCのUSB端子では時々出ているのでしたら、原因は付属ケーブルではなくPCのUSB端子にあると考えるべきでしょう。端子が壊れかけているのかもしれません。

切り分けとして、他PCのUSB端子に接続して確認しては如何でしょうか？

> PCへのUSB接続では時々でております。

そのPCのUSBの給電能力が小さいのでは？

標準のUSB2.0 では給電能力は 500mA、USB3.0 では 900mA です。iPhone では 900 mA 以上の給電能力のポートからしか充電できません。Macの USB2.0 は最大1100mA までの給電能力があります（ハイパワーUSB）。

以下アップルサポートの記事です。

Apple Computers and Displays：USB 経由の周辺機器への電力供給

いやいや。iPhoneは500 mAでも充電できます。（iPadは不可）

そのため、普通のPCのUSB端子で充電できます。

貼付けた記事では、iPhone も 500mAでは充電できない機器に入ってますけど。充電できるにしても、スリープしているときだけでは？非力なUSB充電器に繋ぐと分かりますが、何もしなければ充電してますけど、iPhoneを動かしながらだと、電池容量みるみる減少してゆきます。

最近の普通のPCはハイパワーUSBを備えているものも多いのでは？

貼付けた記事では、iPhone も 500mAでは充電できない機器に入ってますけど。

充電できないとは書かれていません。

「動作するため、または急速充電するためにポートから 5 V/500 mA を上回る供給が必要な場合があります。」とあります。

場合があります、なので、そうでない場合もあります。

はにさんが書かれているように、スクリーンロック状態なら充電できて、CPUをフル回転していると完全に不足します。でも、「充電機能はこのアクセサリではサポートされていません」とまでは言われません。

横から失礼します。

以下の構成(実験用構成)でも遅いですが、充電するようです。

1) FOMA 充電機能付きUSB接続ケーブル 02 (IN DC5V 500mA / OUT DC 5.4V 400mA)

2) FOMA miniUSB変換アダプタ HT01 (IN/OUT 5.4V 700mA)

3) ミヨシ USBコネクタ変換アダプタ(USA-MMC)

4) Lightning - microUSBアダプタ

> でも、「充電機能はこのアクセサリではサポートされていません」とまでは言われません。

確かに。

>不思議なのはいずれの場合でも、メッセージが出つつでも充電できたり出来なかったりします

PCのハードウェアに異常があるのでは。

異常が解消してもメッセージは出ないので、お書きの内容からはPCが必ず関与してますよね。