ギフトの購入履歴を確認するにはどうすればよいでしょうか？

ギフトを送信したデバイスおよび履歴を確認したいデバイスは、iPhone5でしょうか？

iPhoneにおいて、ギフトに限らずアプリや楽曲の購入履歴を確認する方法はないと思います。

＃購入済みの楽曲やアプリを再ダウンロードすることは可能です。

余談ですが、iTunes for Mac/Winなら、すくなくともアプリや楽曲の購入履歴を確認できます。

iTunes Store & Mac App Store：購入履歴とオーダー (注文) 番号を表示する方法

購入手続き完了と同時に、Appleからアプリや楽曲を購入した時と同じ受領番号という件名のメールは届いていませんか？iTunes Storeではこれが領収書（レシート、Recept）の役割を果たします。

（前述の iTunes Store & Mac App Store：購入履歴とオーダー (注文) 番号を表示する方法 より引用）

また、クレジットカードの請求ごとにメールで請求書が送信されます。請求書は、およそ $20 ごと、または 12 時間ごとに、先に事象が発生した方で作成されます (現在、日本の iTunes Store では、約 1 週間ごと、または約 4,000 円ごと)。Web オーダー (注文) 番号はメールの請求書にも上の図のように表示されます。

また、サポート記事 iTunes ギフトを再送信する に記載された方法を使えば、再購入することなくギフトを再送信することが出来ます。

念のため、ギフトを再送信する前に、相手に迷惑メールフィルターや受信拒否の設定（@itunes.comや@apple.comのメールが受信できるようになっているか）を確認させて下さい。

余計なお世話かも知れませんが、ギフトを贈る相手は、iTunes Storeを利用している/利用する予定であることは確認していますよね？