「購入済み」アイコンの右に表示される赤いバッジはなんですか？

はっきりと確認できていませんが、どうやら購入済みのブックのなかでアップデートがある項目の数のようです。

ただし、そのデバイスにダウンロードや同期をしておらず、他のデバイスにしか存在しないブックのアップデート数まで含まれているようなので、例えばMacのiBook上にあるブックならMacからアップデートする必要がありそうです。

k.inoue さんのおっしゃるとうりかと思います。

私は Mac ですが iBook の＜ダウンロード＞アイコンの横に同じ赤いバッジがありました。最初は何なのかわからなかったのですが、半日ぐらいして購入した本の内１２冊が突然アップデートされました。それも２回 ... 但し本の何がアップデートされたのか未だにわかりません。

私も「本にアップデート」って変な組合せだとは思うのですが、実際にMacでダウンロードしてiPad miniに同期してあった「iPad User Guide」が購入済み一覧ではアプリのように右側に「アップデート」のボタンが表示されて、タップするとアップデートが動作しているようでした。

また、Mac上にしかなかった「iPhone User Guide」等はiPad miniの赤いバッジの数に含まれていましたが、購入済み一覧では単にクラウドアイコンが表示されているだけで、実際のアップデートはMacのiBooksアプリを使用して実施することができました。

ご提示なさったスクリーンショットには「The Swift Programming Language」が含まれていますが、このブックも今回のアップデート対象だと思いました。もし他のデバイス上にこのブックがあるようでしたら、そのデバイスのiBooksアプリでアップデート操作をすると、いずれiPad Air上のバッジも消滅するのではないかと思います。