お疲れ様です。
添付の図のうち、
受信〜すべてのメールがローカルのメールボックスということですね!?
残念ながら違います。「メールボックス」のところにある 受信〜すべてのメール では全アカウントの基本的なメールボックスを統合して表示しています。
maimaipさんの現状のようにアカウントが一つだけであればそのアカウントのメールボックスにそのまま対応し、複数のアカウントがある場合は「ゴミ箱」のように「>」が左に付いて、それをクリックすることでアカウントごとの対応するメールボックスを個別に確認できます。
なので「受信」を選べば、全アカウントの受信メールボックスにあるメールすべてを一括チェックできるわけです。
そのメールがどのアカウントのものかは標準のレイアウトであればリスト上の各メールの右肩に、クラッシックレイアウトであればリストの一番右[メールボックス]欄に表示されています。
その下が、Gmail上のアカウントになるかと思います。
スマートメールボックスの下にある「アカウント」の所には上の「メールボックス」にあるもの以外のメールボックス(フォルダ)が表示されます。
Gmail上のフォルダのうち、
例えば、
紫のフォルダの中のメールは見れるが、
オレンジのフォルダにはメッセージ0件と表示される(webブラウザでは見れます)
という状態です。
常に特定のフォルダだけで問題があるということであれば、PC自体や設定に原因がある可能性は低そうですね。
あくまでも思いつきレベルで検証・確認をしたわけではありませんので、手間をとるだけになるかもしれませんが、
・フォルダの名前
使われている文字がMac(のメール)ではうまく処理できないのかもしれません。一旦英数字だけの名前に変えてみるとどうでしょうか。
・特定のメール
そのフォルダに含まれるある特定のメールに問題の原因があるかもしれません。
GMail上で作業用のフォルダを作り、問題のフォルダにあるメールをそちらに順次移動していき、問題が作業用のフォルダでも発生するか確認するというのはどうでしょうか。 --- と書いてみましたが、それらのメールが受信メールボックスにあったときは問題なかったのですよね?そうならこの可能性はないかも。
相変わらず、あまり問題解決につながる情報がなくてすいません。