ファイルをゴミ箱に移動すると『この項目はすぐに削除されます。この操作は取り消せません。』と出て、ゴミ箱に残りません。

失礼致します。

「F4（Launchpad）」キー ＞「その他」＞「ターミナル」を起動して、下記のコマンドをコピー＆ペーストで入力し、

「return」キーを押して見て下さい。

defaults write com.apple.finder AppleShowAllFiles true; killall Finder

「Finder」を開くと「ホーム」フォルダ内に「ゴミ箱」が表示されていると思いますが、

「ゴミ箱」アイコンの右下に、下の画像の様な「進入禁止マーク（アクセス不可）」が表示されていませんでしょうか？

その場合は、「ゴミ箱」のアクセス権がおかしくなっていますので、「Finder」の「ゴミ箱」を選択し、右クリック

（2 本指クリック）＞「情報を見る」、或いは「command」+「I」キーで「情報」ウインドウを表示させ、ウインドウ

右下の「鍵」アイコンをクリックして「管理者パスワード」を入力し、「鍵」を開いて下さい。

●「共有とアクセス権」の（自分）のアクセス権が、「読み／書き」以外になっている場合は、（自分）のアクセス権

　の部分をクリックすると表示されるリストから、「読み／書き」を選択して下さい。

●（自分）のアカウント名自体が無くなっている場合は、「情報」ウインドウ左下の「＋」ボタンをクリックすると

　表示されるダイアログで、（自分）のアカウント名を選択し、「選択」ボタンをクリックして追加して下さい。

操作が完了したら、「鍵」アイコンをクリックして「鍵」を閉じ、「情報」ウインドウを閉じて下さい。

「Dock」上の「ゴミ箱」に、不要なファイルを入れて見て、ゴミが「ゴミ箱」に残る事を確認したら、「ターミナル」

に下記のコマンドをコピー＆ペーストで入力し、「return」キーを押してから「ターミナル」を終了させて下さい。

defaults write com.apple.finder AppleShowAllFiles false; killall Finder

NAS等のネットワーク上のドライブのファイルはそうなります（そうなることが多い？）。

お書きの内容からはお使いの環境や状況等が良く分かりませんので何とも言えませんが（「新規トピックを追加する前に」）、もし、内蔵HDDでという話ならアクセス権が狂っている等でしょう。アクセス権を確認・修正するとか、ゴミ箱を作り直すとかですかね…。

追記：

しかし、タイトルと本文が全く同じ文章だと意味が無いんですけどね…。もうちょっと本文に状況等を書いて、で、タイトルは内容の簡潔な要約にして頂いた方が有り難いんですけどね…。

今回の様に、ゴミ箱のアクセス権の問題が起きたときは下記コマンドで、行なう手があります。

sudo rm -R ~/.Trash

解決している今なら、

rm -R ~/.Trash

を行なっても良いかも知れません。ゴミ箱フォルダを削除するコマンドです。削除すると再作成されるので、ある意味、後々の問題が出にくいかと思います。