「27インチiMac Late2013」であれば、10.8.4〜10.9.4どれでもインストール可能だと思たのですが....。
少なくとも、10.8.4についてはiMac Late2013専用版なので、汎用版の一般的なOS X 10.8.4は動作しません。
OS X 10.8.5なら、ダメ元でチャレンジしてみては?
他のMacでダウンロードした10.8.5のインストーラを、USBメモリでインストールメディアとして使える状態にすれば、インストール出来る可能性はありますけれど、あくまでもサポート外ですので、自己責任で。
http://blog.majili.com/mac/imac-late-2013-bootable-mac-os-x-mountain-lion-10-8/
上記ブログの記事は、iMacの購入時期から考えてもMavericks発売以降のiMacに載せられている最新のFirmware「IM143.0118.B00」だと思うので、現在出荷しているiMacでも動く可能性を完全否定は出来ません。
(逆に、「10.8.5で動きます」とも言えません)
初期出荷のLate2013のFirmwareは、「IM141.0118.B00」
2013年9月下旬以降に出荷のFirmwareは、「IM142.0118.B00」
(このFirmwareは公開されています)
iMac (late 2013) EFI Update 2.1
Late2013用Firmwareの最新版「IM143.0118.B00」のバージョン記述は、下記ページに。
iMac (Late 2013):推奨されるソフトウェアアップデートとファームウェアアップデート - Apple サポート
どのみち、ライセンス的な問題はグレーですけれどね。
追記
グレーじゃなくて、アウトですね。
MountainLion 10.8.2の使用許諾に、
お客様が所有または管理する、OS X Lion またはOS X Snow Leopardが稼動する Appleブランドの各コンピュータ(以下「Macコンピュータ」といいます)に、個人使用、非営利的使用を目的として、Appleソフトウェアのコピーを1部ダウンロードし、イ ンストールし、使用および稼動させることができます。
の記載がありますから、MavericksやYosemiteが稼働するMacはダメですね。
MountainLion 10.8.2の使用許諾 (PDFファイルです)
http://images.apple.com/legal/sla/docs/OSX1082.pdf