何か根本的に勘違いされているようなので確認ですが Watchは直接Wifiとは繋がりませんよ。WatchのネットへのアクセスはBlueetoothを使ってiPhoneに接続してiPhone経由でネットへの送受信を行っています。
つまり、ペアリングを行っているiPhoneがBlueetoothの範囲外ならば(iPhone忘れて外出したり)、Watchは一切ネットアクセスできません。
また、ペアリングを行っているiPhoneが4GLTE等のモバイルネットワークやインターネット接続可能なWifiへ接続していない場合もWatchはネットにアクセス出来ません。
簡単な図に示すと以下の様になります。
Watch <---(Blueetooth)--> iPhone <-------Wifi-------->(回線はADSL~モバイル~光まで様々ピンキリ)------>インターネット
<---4GLTE or 3G------>モバイルネットワーク<----->インターネット
つまりWatchからネットアクセスするためには近くにペアリングを行ったiPhoneがあり、そのiPhoneのBlueetoothはONで、尚且つそのiPhoneがネットにアクセス出来る状態でなければなりません。
ですからまずはWatchがiPhoneと接続しているかを確認する。これは接続していない場合ロック解除後のWatch画面上部に赤のiPhoneに/が入ったアイコンが出ているようなら接続していないと言うことなので、このアイコンが消えていることを確認する。
次ぎにiPhoneからネットへアクセス出来ることを確認する。
この2点が出来るのに尚且つWatchからネットへアクセス出来ないのであれば故障の可能性が高いのでサポートへ連絡した方が良いでしょう。