iPod Touch 5に充電できず、起動もしない

iPod Touch 5に充電ができず、起動もしなくなりました。

症状と、これまでに試したことは次のとおりです。

●ある日突然、iPod Touch 5に充電できなくなり、起動もしなくなった

●純正の充電ケーブルを刺した状態で電源ボタンを押すと空の電池（左端がわずかに赤い）のマークが一定時間表示されて消えるが、それから何時間経っても表示されるのはそれだけで、一向に充電されない

●Macに接続しても認識されない

●純正の充電ケーブルを刺した状態で工場出荷状態に戻すボタン操作を行っても何も表示されない

●充電ケーブルを刺していない状態では、電源ボタンやホームボタンの操作には一切反応しない

これはiPod Touchのバッテリーが完全にダメになり、それが原因でOSが起動しない、直すにはバッテリーを交換するほかない状態だという認識でよいでしょうか？