「設定」アプリ>「通知」>「メッセージ」を確認してください。
オフにすることもできますし、通知方法を変更することもできます。
iPhone、iPad、iPod touch で通知機能を使う - Apple サポート
(バナーや通知センターでの表示はiOSのバージョンにより違いがあります。)
ちなみに、
- SMS - Short Message System— 携帯電話で短いテキストをやり取りするシステム。iPhoneでは「メッセージ」アプリに統合。発展系にMMSなんてのも。
- SNS - Social Network System— インターネット上で書き込みを相互にやり取りするシステム。ブログやTwitter、LINEなど。
です。お間違えのないよう。