付属の充電コードが新品にも関わらず不良品の模様

オプション代削減のために保証は外していると記憶しています。

iPhone付属品のUSBケーブルは保証期間内でユーザーの瑕疵がない故障が起こったときは無償で交換してもらえますよ。

初めて使った段階で不良品だと思われるのですがこれは自分で購入しに行かなければならないのでしょうか？

上記に書いた通り、保証期間内でユーザーの瑕疵がない故障が起こったときは無償で交換してもらえます。

ひょっとして問題点はそこではなく、「自分で」交換しにいかなくてはならないかという事でしょうか。

そうであればご自身で交換のために出向くか、もしくは交換の手続きを行うのが良いと思います。

（単体で購入したUSBケーブルなら、購入時のレシートがあればご自身でなくてもジーニアスバーで交換はしてくれると思う）

保証はなくても初期不良なら対応するにではないでしょうか。Apple に連絡してみて下さい。