OSX Lion 再インストール出来ない

Mac Book Pro early 2011だと、プレインストールOSXは10.6.6-10.7.2のようですから、このインストールDVDも一緒に譲ってもらうのが一番良いのですが。インターネットレカバリーはcommand + option + r でやりましたか？これなら、Apple IDを要求されることはないと思うのですが。また、この時期のモデルは、ファームウエアアップデートをしないとインターネットレカバリーできないものもありますが、このへんは大丈夫ですか？

もし、正常に稼働するマックをお持ちなら、とりあえずそちらで、ご自分のApple IDで、El CapitanなりSierraをダウンロードして、それをインストールしてしまうのが簡単で良いとも思います。

> コマンドとRを押して起動しています

command + r で起動してるということですよね？

これだと、復旧ディスクで起動してることになります。この状態ではユーザが使えるディスク領域はほとんどありませんので、この状態ではファームウェアアップデートはできません。ファームウェアアップデートするためには、システムディスクで起動する必要があります。

もうこの状態のマックしかない状態だと、ちょっと何もできないのではないかと思います。とりあえず、正常なマックで（ご自分のApple IDで）OSXインストーラを入手してそれからUSBインストーラを作り、それで起動して正常に稼働するマックにするしかないか、と思います。アップルストアが近くなら、ヘルプを依頼するしかないかな、とも思います。新品を購入したわけじゃないですし、無料では相談に応じてもらえないと思います。

command + option + r は実行できませんか？

これをやるためには、WPA2/AESのセキュリティの無線LAN環境が必要です（インストーラをアップルのサーバからダウンロードする）。このセキュリティは今ではほとんどの無線ルータで実装されてます。

macOS 復元について - Apple サポート

今のマックの状態で、できることと言ったらこれにかけるしかないように思います。

空き領域がない、と言われるなら、いらないものを消して（ゴミ箱に捨てて、空にする）空き領域を作るしかないのでは？

システムディスクにカーソルを当てて右クリックして情報を見るとすれば、空き領域のサイズとかも表示されますが、どうなってますか？

ミュージックライブラリーとか、フォトライブラリーとかは前の所有者のものなら、全部捨てても良いのでは？

購入直後で、ディスクスペースに空きがほとんどないのですか？ちょっと驚きです。

本当は初期化再インストールするのが良いと思うのですが、それをやる途中の話ですよね？

MacBook Pro early 2011は、インターネットレカバリーするのにファームウェアアップデートの対象機種です。

ソフトウェアアップデートを実行して OS X インターネット復元を使えるコンピュータ - Apple サポート

先方に言って初期化してもらって下さい。

そのMac は何か問題がある販売形態ではないでしょうか。