MacBook Pro(Mac OS X Lion 10.7.5)からiTunesにサインインができません

失礼致します。　

macOS 10.7.5については、この所、iCloudにサインインできないとのApple IDに関するトラブルが幾つか報告されていますね。　一度、Appleのサポートに問い合わせてみると良いのではないでしょうか？ →　こちらから

• iCloud driveにファイルがアップロードできません。
• iCloud IMAP サーバ"p59-IMAP.mail.me.com"はユーザxxxxのパスワードを拒否しました。

新しいユーザーアカウントで試す

ソフトウェアアップデートできませんか？

証明書が古くて（有効期限切れ）サインインできないのかもしれません。その時はソフトウェアアップデート（セキュリティアップデートのこともある）で証明書を新しくできる可能性があります。