現在mac OS 10.6.8使用中ですがgoogle ブラウザが対応していません。またセキュリティが危ないとメッセージされました。

10.6.8ならアプリケーションフォルダーにApp Storeがあると思いますので、それを実行してEl Capitan（10.11）にできます。

OS X El Capitan にアップグレードする - Apple サポート

にアップデート可能なモデルの条件（macbook pro だけでは正確なモデルはわかりません）なども書いてます。

Photoshop CS3などが動くかどうかはネットを検索してみてください。動かせないなら、現在の環境はそのままにして、内蔵HDDにパーティションを作り、その別パーティションにEl Capitanをインストールするということが考えられます（インターネットはこちらで行う）。内蔵HDDが容量的に厳しければ、外付けHDDにEl Capitanを入れるしかないと思います。あるいは従来の環境を外付けHDDにそのまま移して、内蔵HDDにはEl Capitanの環境を用意するとか。

さらに追記：

なお、OSの安全性を棚上げにしてブラウザだけ新しいものを試したいということであれば、Firefoxという選択肢もあります。Google Chromeと同じく最新版では10.6はサポートしていませんが、Firefoxはアーカイブから過去のリリースを入手することが可能です。

10.6〜10.8に対応していた最終バージョンは48.0.2（49より非サポート）なので、その日本語版はこちらになります。

https://www.mozilla.org/en-US/firefox/49.0/releasenotes/ （リリースノート：英語）

changed: Ended Firefox for Mac support for OS X 10.6, 10.7, and 10.8.

https://archive.mozilla.org/pub/firefox/releases/48.0.2/mac/ja-JP-mac/ （ダウンロード用アーカイブ）

また、これとは別に企業向けなど、新機能より安定性・安全性に重きをおいたESR（延長サポート版）がありこちらは45.xになります。

https://www.mozilla.jp/business/#esr

以上、ご参考まで。

>そうなると今まで使用したadbeのソフト(　photoshop cs3.illustrater cs3など)使用できなくなる心配があります

そのとおりです。動作は保証されていませんので、Adobeソフトのバージョンアップも考えておく必要があります(自分はCS6ユーザなのでCS6の情報はウォッチしてますが、CS3はわかりません)。

可能なら、外付けHDDに新OSをインストールして、そちらでCS3が使えるか確認したほうが良いです。

（自分はCCが出たとき、買い切りで使える最後のバージョン(CS6)を急いで入手しました。できるだけ最後のバージョンのほうが将来のOSまで使える可能性が高いと思ったので。）

なお、古いOSをそのまま使い続けると、セキュリティホールが放置されているので危険であることは事実です。特段の事情がない限り、OSはこまめにアップデートするべきです。時期を逸すると望ましいバージョンにアップグレードすることができなくなりますので。

「macOS - アップグレード方法 - Apple（日本）」

非対応の機種なら、

「OS X Lion (10.7) - Apple（日本）」

「OS X Mountain Lion - Apple（日本）」。

Macのモデルにもよりますが、Sierra(10.12)に非対応ならEl Capitanという選択肢もあります。

OS X El Capitan にアップグレードする - Apple サポート

追記：

すみません、はにさんの書き込みと被ってしまいました。