ビジーカーソルが出るだけの状態になり別のユーザーアカウントに入れなくなってしまいました。

TimeMachineからの移行はどのようにされました？

一番問題がないのは、新マックにまだアカウントも作ってない状態で、最初に起動した時に実行されるセットアップアシスタントのガイドに従って（ガイドが他のマックやhddからデータの移行しますかという質問の時にyesとして、ここでTimeMachineのディスクをつなぐ）移行することです。これでやれば、移行前のマシンと全く同じ環境になります。

急がば回れで、もう一度内蔵ディスクを消去して上でクリーン再インストールして最初からやり直す方が結局早い気がします。

管理者アカウントが使えるなら、アクセス権を変更してデータを読み出し、新しいアカウントを作って引っ越してはいかがでしょうか。