Macが起動しない

OS の使用権はOS X El Capitan 以降のOS が販売時にインストールされていたMac ならApple の記事によればあります。2012 年以降のMac とのことなので今回は該当しないかもですが。

Mac を売却または譲渡する前に - Apple サポート

macOS を再インストールする方法 - Apple サポート

２つ目のリンク先に「1. OS X El Capitan 以前を搭載した Mac を売却または譲渡する場合は、「option + command + R」を使って、Apple ID との関連付けを一切解除しておきます。」

と記載があります。ただし、新OS が出るとmacOS Sierra の使用権を失う可能性があるので、自身のID でダウンロードしておいたほうが安全ですが。

機種はiMac、古くともLate 2012ですね。 プリインストールはMountain Lion以降みたいですので、インターネットリカバリが可能。

インターネットリカバリモードで、立ち上げることはできますか？ 電源ボタンを押し、起動音が鳴っている間にshift + option + command + R です。この時にインストールされるOSのバージョンが現在のOSより古い場合、そのままではインストールできないので内蔵ストレージを消去しなければなりません。が、TimeMachineバックアアップの復元に失敗してるのでバックアップの状態がどうなのか不明ですので、最悪データは諦めることになる可能性もあります。

なので、その前にoption + command + Rでの起動でインストール可能かどうか確認してみてください。ただ、インルトール時にMacintosh HDが選択できないと最初のキーコンビネーション同様に、内蔵ストレージの初期化が必要になります。その時にエラーがでるなら、ほぼ故障とみていいのではないでしょうか？

それと、OSの使用権もないような気もします。現在使っているOSのインストール作業を譲り主さんが行ったとなるとApple IDもその時点では作成してないでしょうし。単純に使用権の問題なダウンロード実績を作ればいいだけなので。

故障ですね。ハードウェアテストは動きますか。

Mac で Apple Hardware Test を使う方法 - Apple サポート

なお下記リンク先のリストに入っていると修理できません。

ビンテージ製品とオブソリート製品 - Apple サポート

表示されたコードはADP000 というものでしょうか。症状が顕著なので故障かと思うのですが、検出されず更にバックアップもあるとなるとクリーンインストールできないでしょうか。

ところでMac のモデルとOS のバージョンはなんでしょうか。

Macのモデルに関しては、裏蓋にModel Axxxx（4桁の数字）と書いてあるので確認してみてください。

それで、だいたいのことは判明します。 それよりも、現在のOSはスレ主さんがインストールしたものですか？