fire tv stick を使って テザリングWi-FiでYouTubeを見ています。 iPhoneで他のアプリやSafari等を開いていると最近途中で勝手に切れてしまいます。

状況がよくわかりませんが、iPhoneのインターネット共有をオンにしてこれをアクセスポイントとしてFire TV Stick をインターネットに接続しているということでしょうか？なぜインターネット共有をお使いかわからないのですが、インターネットに接続できる機器がiPhoneしかないということですか？

YouTubeではなくFire TV Stick上のTuneIn Radio、Amazon Music、FirefoxでのWeb閲覧など、動画ストリーミングでないアプリをFire TV Stickで再生していても同じ現象でしょうか？

”ミラーリング”とはAirPlayミラーリングのことではなく、YouTubeからキャストしているという意味ですか？

そうですね、リモコンで入力するのは大変なので当方もYouTubeはFire TVではなくiPhoneから文字入力できるApple TVを使っています。

もし処理能力の高い最新のiPhoneでも勝手に切れてしまうようでしたら、Fire TVの場合は下記のような代替案しかないのかなと思います。

キャストするなら動画の解像度を下げてみる または インターネット固定回線を導入。

キャストしないで、音声検索できるFire tv最新機種を利用。

状況が不明なのですが、お書きのミラーリングモードでなければ切れないのでしょうか。

インターネット共有をして、なおかつキャストするのは負荷が大きくないですか？

Fire TV Stickで普通にFireFoxやSilkでYouTube動画を再生したほうがいいのではないでしょうか。（それでもうまくいくかどうかはわかりませんが）

現在はFire TV Stick上で、どのアプリでどのような手順で利用されているのでしょう？