OS X Mountain Lionのダウンロードができない

> macOS 10.7.5のiMacを最新のOSまでバージョンアップ

アップル社の案内によれば、まずel capitanに上げてから、high sierraにすればよいのですが。

macOS - アップグレード方法 - Apple（日本）

このページのシステム条件のところに、snowleopardや lionから上げる場合のリンクがあります。このリンクをたどれば、el capitanをダウンロードできると思いますが。

OS X El Capitan をダウンロードする方法 - Apple サポート

これをたどれば無料でできるはずです。

Apple IDが使えない件は、クレジットカードを登録するか、お金をチャージするなりして支払方法を設定したら使えませんか？クレジットカードを登録すれば、結局はお金はいらないので、こちらの方が良いと思います。後から登録したカードを外すこともできます。お金をチャージしたり、iTuensカードをチャージしたりすると、結局それを使うしかないので、（他に何も購入するつもりがないなら）かえって損です。

> 過去にMac App Storeの登録をしていなかったiMacが手詰まり

ちょっとどういうことか分かりかねます。

App Storeはすでにお持ちのApple IDでサインインすれば使えると思いますが。他のマックの方はダウンロードできて、そのマックで使えないというのは理解できないです。その使えるApple IDでサインインすれば良いだけなんですが。Apple IDというのは、アップル社がユーザと紐付けるものです。同じ人が使うなら、別のマシンやデバイスでも同じApple IDを使えば良いのですが。

私も同じ状態になっていました。

どうやらアップルのセキュリティー強化のため、6月30日から古いOSではApple IDの支払い情報の更新ができなくなったのが原因のようです。

途方に暮れていましたが、そういえば手持ちのwindowsのほうは最新のOSだから、そちらでサインインして支払い情報を更新すれば行けるんじゃないかと思い、祈るような気持ちで試してみたら、あっさりサインインできて、支払い情報も更新できました。

それから問題のMacに戻って、el capitanのダウンロードを試してみたら、見事ダウンロードできるようになりました。

なので、kaori66さんの場合、もう一台のほうのimacは新しいOSに更新ができたようですので、そちらなら手詰まりになっているimacのAppl IDを使いサインインすることができると思います。

そちらで支払い情報を登録すれば、手詰まりのimacでもサインインできるようになるのではないでしょうか？

もしくは逆に、更新できた方のApple IDを使って手詰まりのimacでサインインするか。

もう解決されているかも知れませんが、解決してないなら、試してみる価値はあると思います。