App Storeに接続できません

他のデバイスではアクセスできるということで、Apple ID 自体に問題がないのでしたらそのほかには、

・強制再起動

　下記の「画面が真っ黒な場合やフリーズした場合」の方法

iPhone、iPad、iPod touch の電源が入らない場合やフリーズする場合 - Apple サポート

・設定＞一般＞リセット＞「すべての設定をリセット」

・バックアップしてから工場出荷状態に初期化して、バックアップから復元せずに検証

などの方法があると思います。

ちなみに私はMacで同じトラブルに遭遇しましたが、

Storeメニュー＞「マイアカウント(example@icloud.com)を表示..」で支払い方法の編集ページを開き、何もせずそのまま「完了」ボタンで閉じて直りました。

ストアのマイアカウントで支払い方法の編集ページを開いてみる方法は試されました？

ご存知かもしれませんが、工場出荷状態の初期化は、連絡先やカレンダーなどをiCloudと同期していて、メールにimapを設定し、iTunesで暗号化バックアップを取っていれば、バックアップからの復元でほとんど元の状態に戻ります。（この復元方法に対応していない一部の他社製アプリには注意が必要ですが）

もし工場出荷状態でも改善されなければAppleサポートに連絡するしかないと思いますし、元の状態に復元すれば（相変わらずApp Storeには接続できないでしょうけど）今の状況と同じ状態で使えます。

Wi-Fiで駄目ならモバイルデータ通信で行けるか試しました?

モバイルデータ通信が大丈夫なら無線LANルータの先のプロバイダでApp Storeとの通信を阻害している…。

Apple - Support - System Status

上のサイトから見る限りアップルのサーバの問題とは思えません。

下記の記事が参考になりませんか。

iTunes Store、iBooks Store、App Store に接続できない場合 - Apple サポート

また、他のiOSデバイスからは同じ Apple ID で App Store に接続できるのでしょうか？

状況が不明です。

エラーコードなんなりが出るんですか？それともロードが終わらないんですか？

あ、ちなみに

デバイスをリカバリー状態にする。

これだけではどうにもなりませんよ。リカバリーモードはその状態でパソコンに接続してなんらかの作業を行うものであって単体では機能しません。

上の画面だとWi-Fi接続ですよ。

Wi-Fiを切るとキャリア名の隣に4Gが表示されます。

でしたら！アッブルIDは、大丈夫ですね！マイアップルからログインする方法しか思い当たらないです。パスワードが不明&パスコードが分からないならデカバリーモードしかないと思います！Apple stoerをアインストールして、電源を1度再起動したら直るかもですが……以上で御座いますm(__)m

設定＞Apple ID＞Apple ID:[自分のID]＞「Apple IDを表示」で支払い情報の編集ページにたどり着けませんか？