起動ディスクの修復の仕方がわからない

再起動＞リカバリーって、command + rで起動したもの（あるいはoption起動でリカバリーを選択して起動したもの）のことですか？

そのディスクユーティリティのFirst Aidでエラーになるなら、一旦ディスクを消去して（10.12のディスクユーティリティでどうだったか覚えてませんが、表示で全てのデバイスを表示にしないとディスク本体は表示されません。消去はディスク本体を選択して行います）macOSをクリーン再インストールするしかないです。ディスクの消去（ディスクユーティリティのバージョンによってはフォーマット）でもエラーが出るようなら、そのディスクは修復不能ですから、修理に出して、まずディスクを交換してもらう必要があります。

再インストール直後の再起動でセットアップアシスタントの案内でバックアップから戻すようにすれば（多少時間はかかりますが）元どおりになります。

以上はバックアップがある時の話です。バックアップがないなら、まずバックアップを作ります。既に手遅れでバックアップも取れないようなら、手動でシステムを再構築するしかありません。

First Aidで修復できないなら、ディスクを初期化（消去）して修復するしかないです。なので、必然的にアプリやデータなども消えます。

ディスクが修復できないほどに壊れてる場合、TimeMachineからそのままバックアップを戻すのはやめた方が良いと思います。macOSをクリーン再インストールしてシステムに関してはクリーンな状態にしてから、設定、アプリ、データなどをTimeMachineから移行アシスタタントで戻す方が良いと思います。

HDD本体を消去したにも関わらず、First Aidでエラーが出るようなら故障の可能性大です。

iMacの正確なモデル名は？

HDDは2、3年で故障する可能性も大きいです。

今はまだ起動できるのかもしれませんが、ある日突然起動しなくなってうんともすんとも動かなくなったりします。

今のうちにHDDを交換しておく方が良いと思います。